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解读高考试题中的周期函数问题_论文

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8 福建中学数学 2008 年第 4 期 解 读 高 考 试 题 中 的 周 期 函 数 问 题 刘兴明 (331600) 所以 函数 f ( x) 的 最小 正周 期 是 π, 最大 值 是 3 4 江西省吉水县金滩中学 函数是 高中数学的一条主线,函数的概念、性 质 及函数的思 想方法贯穿于 整个高中教 学,函数思 想 是解决数学 问题的重要思 想方法之一 ,它的应用 十 分广泛.因 此,函数总是 历年高考考 查的重点, 也 是发展学生 逻辑思维能力 的重要载体 .纵观*几 ,最小值是 1 4 . 点评:以 上试题在考 查三角函数 周期的同时 , 也考查了三 角函数中的诱 导公式、特 殊角三角函 数 年 来涉及到周 期函数内容的 高考试题, 有如下三个 特点. 1 运用公式 T = 2π w 值、两角和(差)公式、倍角公式等基础知识,考查了 将特殊形式 化为一般形式 的化归与转 化的数学思 想 求形如 y = Asin(wx + ) + k ( A 方法,考查 思维能力和运 算能力,是 传统题目的 传 统考法. 2 用递 推推演法,求函数的周期 不少判断 周期函数的 问题,其已 知条件都显 含 或隐含了某 种递推关系, 顺着这种递 推关系推演 下 去,就可以找出周期 T 的值. 例 3(2006 年高考山东鄄理科第 6 题)已知定义 在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x + 2) = 的值为( A. 1 ) B.0 C.1 D.2 f (x) , f ( x) , 则 f (6) > 0, w > 0) 的最小正周期 例 1(2007 年高考江苏卷理科第 1 题)下列函数中, 周期为 π 2 的是( ) x 2 x 4 A. y = sin C. y = cos B. y = sin 2 x D. y = cos4 x 解析 : 选 D. 另外, 作为更高的要求, 试题要求考生能运用化 归的方法,先把问题化为 y = Asin(wx + ) + k ( A > 0, w > 0) 或 y = A tan(wx + ) + k ( A > 0, w > 0) 形 式, 解析:∵ f ( x) 在 R 上是奇函数, ∴ f (x ) = 0 根据 f (x + 2) = 令 x = 0 得 f ( 2) = 0 . 由已 知 条 件 f ( x + 2) = f (x + 4) = f [( x + 2) + 2] = f (x ) 是一 个 递 推 关 系 然后再用公式 T = 2π w 或T = π w 求周期. 式.按此递推关系探索下去,有: f ( x + 2) = f ( x) , 例 2 (2004 高考全国卷Ⅰ理科第 17 题)求函数 f (x) = sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x cos 2 x 的最小正周期、 最 2 sin2 x ∴函数 f (x ) 的一个周期为 4. ∴ f (6) = f (2) = 0 . 例 4(2006 年高考安徽卷理科第 15 题)函数 f ( x) 对任意实数 x 满足条件 f ( x + 2) = 1 、 f (1) = 5 , f (x ) 大值和最小值. 解析 : f (x) = 2 (sin x + cos x) sin x cos x 2 sin 2 x 2 2 2 2 2 2 则 f [ f (5)] =__________ . 解 析 : ∵ 函 数 f ( x) 对 任 意 实 数 x 满 足 条 件 f (x + 2) = 1/ f ( x) , ∴ f (x + 4) = f [(x + 2) + 2] = 1 = f ( x) . f (x + 2 ) = 1 sin x cos x 2(1 sin x cos x) 1 4 sin 2x + 1 2 = 1 2 (1 + sin x cos x) = , 2008 年第 4 期 福建中学数学 9 ∴ f (x) 的周期为 4, f (1) = f (1 + 4) = f (5) . 又∵ f (1) = 5 , ∴ f (5) = 5 . ∴ f [ f (5)] = ( 5) = f ( 5 + 4) = f ( 1) = f ( 1 + 4) = f (3) = f (1 + 2) 下去:有 f (x + 2) = f [2 (x + 2)] = f ( x) = f (x) , 故 f (x ) 是一个周期为 2 的周 期函 数. 点评 如果将问题推广到一般的情况可得:如果 函 数 y = f ( x) 的 图 象 关 于 直 线 x = a 和 x = b 对 称 a < b ,那么它的周期是 2(b a ) .(证明略) 3 转向 周期函数的知识能力应用 例 7(2007 年高考安徽卷理科第 11 题)定义在 R 上的函数 f (x ) 既是奇函数,又是周期函数, T 是它 的一个正周 期.若将方程 f ( x) = 0 在闭区间 [ T ,T ] 上的根的个数记为 n ,则 n 可能为( = 1 1 = . f (1) 5 例 5 (2003 年高考北京春招卷)若存在常数 p > 0 , 使得函数满足 f ( px ) = f ( px 最小正周期是( ) p 2 ) ,顺 着这个关 p p )( x ∈ ) ,则 f (x) 的 2 2 ) 解 析:令 px = t , 则 f (t ) = f (t 系式递推下去,有: f (t + p 2 ) = f [(t + p 2 ) p 2 A.0 B.1 C.3 D.5 解 析 : 由 f (T + x) = f ( T + x) = f (0) = 0 , 由 f (x ) 为奇函数,且 T 为 一个周期,故函数 f (x ) 在 (0, T ) 上至少存在一个数使 f (


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